Question

如图所示，在四棱锥V-ABCD中，底面四边形ABCD是边长为4的菱形，并且∠BAD=120°，VA=3，VA⊥底面ABCD，O是AC、BD的交点，OE⊥VC于E．求：
（1）点V到CD的距离；
（2）异面直线VC与BD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取CD的中点F，连结AF、VF，证明VF为点V到CD的距离，即可求得结论；
（2）证明OE是异面直线BD和VC的公垂线段，利用三角形的相似，即可求出异面直线VC与BD的距离．

解答： 解：（1）由已知∠BAD=120°，∴∠ADC=60°．
∴△ACD是正三角形，
取CD的中点F，连结AF、VF，则CD⊥AF．
又VA⊥面ABCD，
∴CD⊥VF（三垂线定理）．
∴VF为点V到CD的距离．
∵AD=4，∴AF=2

3

，
∴VF=

VA2+AF2

=

9+12

=

21

．
故点V到CD的距离等于

21

．
（2）∵底面四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
又VA⊥底面ABCD，∴VA⊥BD．
∴BD⊥面VAC，∴BD⊥OE．
由已知OE⊥VC，∴OE是异面直线BD和VC的公垂线段．
由（1）可知OC=

1

2

AC=2，VC=

VA2+AC2

=

32+42

=5，
∵△CEO∽△CAV，∴

OE

VA

=

OC

VC

．
∴OE=

6

5

．
∴异面直线VC与BD的距离是

6

5

．

点评：本题考查点到线的距离的计算，考查异面直线的距离，正确找出空间距离是关键．