Question

已知函数f（x）=x-2

x

+1（x≥1）
（1）求f（x）的反函数f^-1（x），并指出其定义域；
（2）若数列{a_n}的前n项和s_n对所有的大于1的自然数n都有sn=f-1(sn-1)，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（3）cn=

1

an•an+1

，求c₁+c₂+…+c_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,反函数

专题：计算题,解题思想,等差数列与等比数列

分析：（1）利用函数解析式，反解x，再将x，y互换，即可求得反函数f^-1（x）；
（2）确定{

Sn

}为等差数列，利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用裂项法，即可求数列的和．

解答： 解：（1）∵y=f（x）=x-2

x

+1=（

x

-1）²（x≥1）
∴

x

-1=

y

（x≥1）
∴x=(

y

+1)2
∴f^-1（x）=(

x

+1)2
定义域为：[0，+∞）（4分）
（2）∵Sn=f-1(Sn-1)
∴Sn=(

Sn-1

+1)2
又S_n＞0，∴

Sn

=

Sn-1

+1
∴{

Sn

}为等差数列
∵a₁=S₁=1
∴

Sn

=n，∴Sn=n2
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
n=1时，也符合上式
故a_n=2n-1（8分）
（3）cn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴c₁+c₂+…+c_n═

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

n

2n+1

（13分）

点评：本题考查反函数，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键．