Question

8．若函数f（x）=x³+ax²+bx的图象与x轴相切于点（c，0），且f（x）有极大值4，则c=（　　）

• A． -3
• B． -1
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 联立方程组，求出a，b，求出f（x）的导数，通过讨论c的范围，得到函数f（x）的单调区间，求出f（x）的极大值，得到关于c的方程，解出即可．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R），
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）的图象与x轴相切于一点（c，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3c}^{2}+2ac+b=0}\\{{c}^{2}+ac+b=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-2c}\\{b{=c}^{2}}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=（3x-c）（x-c），
c＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞c或x＜$\frac{c}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{c}{3}$＜x＜c，
∴f（x）在（-∞，$\frac{c}{3}$）递增，在（$\frac{c}{3}$，c）递减，在（c，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（$\frac{c}{3}$）=4，解得：c=3，
c＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜c或x＞$\frac{c}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{c}{3}$＞x＞c，
∴f（x）在（-∞，c）递增，在（c，$\frac{c}{3}$）递减，在（$\frac{c}{3}$，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（c）=4，而f（c）=0，不成立，
综上，c=3，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．