Question

5．若F₁、F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F₁PF₂=60°，则P到x轴的距离为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 先设出点的坐标和|PF₁|=m，|PF₂|=n，列出关于m，n的方程，求出n，再根据双曲线的第二定义，问题得以解决．

解答 解：不妨设点P（x₀，y₀）在双曲线的右支上，且|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m-n=4，20=m²+n²-mn，
∴n²+4n-4=0，∴n=2$\sqrt{2}-2$，
易得双曲线的准线为：x=$±\frac{4}{\sqrt{5}}$，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由双曲线的第二定义可得$\frac{n}{{x}_{0}-\frac{4}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得${x}_{0}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$，可得${y}_{0}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力，属于中档题．