Question

20．如图所示，在三棱锥A-OBC中，OA，OB，OC两两垂直且长度都为2，则这个三棱锥的体积为$\frac{4}{3}$；O到平面ABC的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由OA⊥OB⊥OC，且OA=OB=OC=2，直接利用棱锥体积公式求得三棱锥体积；由已知可得，AB=AC=BC=2$\sqrt{2}$，可得三棱锥O-ABC为正三棱锥，过O作OG⊥平面ABC于G，则G为正三角形的重心，连接AG并延长交BC于D，求得AD，再由重心性质可得AG，最后利用勾股定理求得答案．

解答 解：∵OA⊥OB⊥OC，且OA=OB=OC=2，
则${V}_{A-OBC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$，
即三棱锥的体积为$\frac{4}{3}$；
由已知可得，AB=AC=BC=2$\sqrt{2}$，
则三棱锥O-ABC为正三棱锥，过O作OG⊥平面ABC于G，则G为正三角形的中心，也是重心，
连接AG并延长交BC于D，则AD⊥BC，
∵AB=2$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$，
∴AG=$\frac{2}{3}AD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴OG=$\sqrt{O{A}^{2}-A{G}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查棱锥体积的求法，考查了三角形重心的性质，是中档题．