Question

12．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，满足|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=1，|k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow a$-k$\overrightarrow b$|，k＞0，
（1）用k表示$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，并求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ的最大值；
【注：若a＞0，b＞0，则a+b≥2$\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时取等号】
（2）如果$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）将|k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow a$-k$\overrightarrow b$|两边平方化简即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，利用基本不等式求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最小值即可得出夹角的最大值；
（2）令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=±1，解方程得出k．

解答 解：（1）∵|k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow a$-k$\overrightarrow b$|，∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=3（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$）²，
即k²${\overrightarrow{a}}^{2}$+2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=3${\overrightarrow{a}}^{2}$-6k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+3k²$\overrightarrow{b}$²，
∴8k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2k²+2，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$，
∵$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=$\frac{1}{4}$（k+$\frac{1}{k}$）≥$\frac{1}{2}$，当且仅当k=$\frac{1}{k}$即k=1时取等号．
∴当$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cosθ=$\frac{1}{2}$时，θ取得最大值．
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ的最大值为$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为0°或180°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cosθ=±1，
∴$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=±1，解的k=±2$±\sqrt{3}$．
又∵k＞0，
∴k=2±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，不等式的应用，属于中档题．