Question

10．已知f（x）=$\frac{{2}^{x+1}+1}{{2}^{x}-1}$，且对于任意x∈[1，3]，不等式f（x）＞|x-2|+m恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-4]
• B． （-$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{9}{8}$）
• D． （-∞，$\frac{10}{7}$）

Answer 1

分析 判断函数f（x）的单调性，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：对于任意x∈[1，3]，不等式f（x）＞|x-2|+m恒成立，
则等价为对于任意x∈[1，3]，不等式$\frac{{2}^{x+1}+1}{{2}^{x}-1}$＞|x-2|+m恒成立，
f（x）=$\frac{{2}^{x+1}+1}{{2}^{x}-1}$=$\frac{2（{2}^{x}-1）+3}{{2}^{x}-1}$=2+$\frac{3}{{2}^{x}-1}$，
则函数f（x）在x∈[1，3]上为减函数，
故最小值为f（3）=$\frac{{2}^{4}+1}{{2}^{3}-1}$=$\frac{17}{7}$，
设g（x）=|x-2|+m，
则g（x）关于x=2对称，
作出f（x）和g（x）的图象如图，
要使f（x）＞|x-2|+m恒成立，
则只需要当x=3时 f（3）＞|3-2|+m恒成立即可，
即$\frac{17}{7}$＞1+m，
则m＜$\frac{17}{7}$-1=$\frac{10}{7}$，
故m＜$\frac{10}{7}$，
故选：D．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数与方程的关系，转化为两个函数的大小问题，利用数形结合是解决本题的关键．