Question

19．曲线y=$\frac{1}{4}$x²和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 先求出导数和切线的斜率，可得切线的方程，根据题意画出区域，然后依据图形，利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．

解答 解：y=$\frac{1}{4}$x²在（2，1）点处的切线l，
则y′=$\frac{1}{2}$x，
∴直线l的斜率k=y′|_x=2=1，
∴直线l的方程为y-1=x-2，即y=x-1，
当y=0时，x-1=0，即x=1，
所围成的面积如图所示：S=${∫}_{0}^{2}$$\frac{1}{4}$x²dx-$\frac{1}{2}$×1×1
=$\frac{1}{12}$x³|${\;}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{8}{12}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查了导数的运用：求切线的方程，会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题．