Question

已知函数f（x）=a^2x-2a^x+3（a＞0且a≠1），x∈[-1，2]，求f（x）的最值和值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：令t=a^x，f（t）=（t-1）²+2，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而得出函数的最值，函数的值域．

解答： 解：令t=a^x，x∈[-1，2]，
∴0＜a＜1时，t∈[a²，

1

a

]，a＞1时，t∈[

1

a

，a²]，
∴f（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2，
①0＜a＜1时，0＜a²＜1，

1

a

＞1，f（t）_min=f（1）=2，
当1-a²＞

1

a

-1，即

5 -1

2

＜a＜1时，f（t）_max=f（a²）=a⁴-2a²+3，
当1-a²≤

1

a

-1，即0＜a≤

5 -1

2

时，f（t）_max=f（

1

a

）=

1

a2

-

2

a

+3；
②a＞1时，t∈[

1

a

，a²]，

1

a

＜1＜a，f（t）_min=f（1）=2，
当1-

1

a

＞a²-1，解不等式，无解，
当1-

1

a

≤a²-1，即a＞1时，f（t）_max=f（a²）=a⁴-2a²+3，
综上：0＜a≤

5 -1

2

时，f（t）_min=2，f（t）_max=

1

a2

-

2

a

+3；∴f（x）的值域是：[2，

1

a2

-

2

a

+3]，

5 -1

2

＜a＜1时，f（t）_min=2，f（t）_max=a⁴-2a²+3，∴f（x）的值域是：[2，a⁴-2a²+3]，
a＞1时f（t）_min=2，f（t）_max=a⁴-2a²+3，∴f（x）的值域是：[2，a⁴-2a²+3]．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了二次函数的性质，换元思想，分类讨论思想，是一道中档题．