Question

设函数f（x）=ax+b（a，b∈R），g（x）=x²+c（c＜0）
（1）请用f（0）和f（1）表示出a，b
（2）若对任意的x∈[0，1]，都有0≤f（x）≤1，求ab的最大值
（3）已知a=1，b和c是闭区间l的两个端点，若对任意的x∈l，都有f（x）g（x）≥0，求|b-c|的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）f（0）=b，f（1）=a+b，即可用f（0）和f（1）表示出a，b
（2）ab=f（0）[f（1）-f（0）]=-f²（0）+f（1）f（0）看作关于f（0）的二次函数，可求ab的最大值；
（3）f（x）=x+b（x+b）（x²+c）≥0，再分类讨论，即可求|b-c|的最大值．

解答： 解：（1）f（0）=b，f（1）=a+b
∴b=f（0），a=f（1）-b=f（1）-f（0）
（2）ab=f（0）[f（1）-f（0）]=-f²（0）+f（1）f（0）
看作关于f（0）的二次函数，所以最大值为-

f2(1)

-4

=

1

4

f²（1）≤

1

4

；
（3）f（x）=x+b（x+b）（x²+c）≥0
∴x≥-b且x²≥-c 或x≤-b且x²≤-c
若b＜c＜0，则①b≥-b且c²≥-c，矛盾；
②c≤-b，b²≤-c，∴|b-c|_max=|

-c

-c|≤

1

4

；
若c＜b，则①b≥-b且c≥-c，b≥0，c≥0，矛盾；
②b≤-b，b²+c≤-c，c²+c≤-c，b≤0，c＜0，
∴|b-c|_max=|

-2c

-c|≤

1

2

综上，|b-c|_max=

1

2

．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，有难度．