Question

已知函数f（x）=x+

m

x

的图象经过点（1，5）
（1）求函数解析式；
（2）请用定义证明函数f（x）在区间（2，+∞）上是单调增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将点的坐标代入函数表达式得方程，解出即可；（2）?x₁＞x₂＞2，通过作差法得出f（x₁）＞f（x₂），从而证明问题．

解答： （1）解：把（1，5）代入f（x）=x+

m

x

，得：1+m=5，解得：m=4，
∴f（x）=x+

4

x

，
（2）证明：设?x₁＞x₂＞2，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+4（

1

x1

-

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

4

x1•x2

），
∵x₁-x₂＞0，1-

4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（2，+∞）上是单调增函数．

点评：本题考查了函数求函数的解析式问题，考查了函数的单调性的证明，是一道基础题．