Question

已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=

15

，AA₁=3，M为线段BB₁上的一动点，则当AM+MC₁最小时，△AMC₁的面积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：先将直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展开成平面连接AC₁，与BB₁的交点即为满足AM+MC₁最小时的点M，由此可以求得△AMC₁的三边长，再由余弦定理求出其中一角，由面积公式求出面积．

解答： 解：将直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展开成平面连接AC₁，与BB₁的交点即为满足AM+MC₁最小时的点M，
由于AB=1，BC=2，AA₁=3，再结合棱柱的性质，可得BM=

1

3

AA₁=1，故B₁M=2，
∴AM=

2

，AC₁=2

6

，MC₁=2

2

，
cos∠AMC₁=

AM2+MC12-AC12

2AM•MC1

=

2+8-24

8 3

=-

3

2

，
∴sin∠AMC₁=

1

2

，
∴△AMC₁的面积

1

2

×

2

×2

2

×

1

2

=1．
故答案为1．

点评：本题重点考查了棱柱的结构特征、侧面展开图等知识，属于中档题．