Question

已知函数f（x）=ax²+（b-

1

2

）x+c（a≠0）过坐标原点，且在x=1处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=lnx-f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相应的x值；
（3）对于任意正数x，恒有f（x）+f（

1

x

）-2≥（x+

1

x

）•lnm，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）=ax²+（b-

1

2

）x+c（a≠0）过坐标原点可得f（0）=c=0，从而求导f′（x）=2ax+（b-

1

2

），从而得到f′（1）=2a+（b-

1

2

）=1且f（1）=a+b-

1

2

=0；从而解得；
（2）化简g（x）=lnx-f（x）f′（x）=lnx-2x³+3x²-x；求导g′（x）=

(x-1)(6x2+1)

x

；从而求最值；
（3）x＞0时，不等式x²+

1

x2

-（x+

1

x

）-2≥（x+

1

x

）•lnm恒成立，令x+

1

x

=t，（t≥2），则lnm≤t-

4

t

-1；从而求得．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²+（b-

1

2

）x+c（a≠0）过坐标原点，
∴f（0）=c=0，
∴f′（x）=2ax+（b-

1

2

），
由函数f（x）在x=1处的切线方程为x-y-1=0知，
f′（1）=2a+（b-

1

2

）=1且f（1）=a+b-

1

2

=0；
解得a=1，b=-

1

2

；
∴f（x）=x²-x．
（2）g（x）=lnx-f（x）f′（x）=lnx-2x³+3x²-x；
∵g′（x）=

(x-1)(6x2+1)

x

；
∴当x∈（0，1）时，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递减．  
∴当x=1时，g（x）有最大值，且g_max（x）=0；
（3）x＞0时，不等式x²+

1

x2

-（x+

1

x

）-2≥（x+

1

x

）•lnm恒成立，
令x+

1

x

=t，（t≥2），则lnm≤t-

4

t

-1；
∴lnm≤（t-

4

t

-1）_min=-1；
∴0＜m≤

1

e

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了换元法的应用，属于中档题．