Question

已知f（x）=x³-3x，g（x）=sinx+

3

cosx-m，若?x₁∈[-1，3]，?x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使得f（x₁）＞g（x₂），则实数m的取值范围是（　　）

• A、（3，+∞）
• B、（-∞，3）
• C、（-17，+∞）
• D、（-∞，-3）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,正弦函数的图象

专题：导数的综合应用

分析：由题意，求出函数f（x）=x³-3x与g（x）=sinx+

3

cosx-m在定义域内求出各自的最小值，推出不等式，求解即可得到m的范围、

解答： 解：f（x）=x³-3x，则f′（x）=3x²-3=3（x²-1），x₁∈[-1，1]，f′（x）≤0，f（x）=x³-3x是减函数，x₁∈[1，3]，f′（x）≥0，f（x）=x³-3x是增函数，所以函数f（x）的最小值为f（1）=-2；
g（x）=sinx+

3

cosx-m=2sin（x+

π

3

）-m，x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，
2sin（x+

π

6

）-m的最小值为：1-m．
f（x）=x³-3x，g（x）=sinx+

3

cosx-m，若?x₁∈[-1，3]，?x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使得f（x₁）＞g（x₂），
转化为：f（x）_min＞g（x）_min，即-2＞1-m，
解得m＞3．
故选：A．

点评：本题考查函数的导数最值的求法，三角函数的最值，考查转化思想以及计算能力，推出f（x）_min＞g（x）_min，是解题的关键．