Question

已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），求函数解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（2-x）=f（2+x），可知二次函数的对称轴为x=2，再结合在x轴上截得的线段长为2，得到f（x）与x轴的交点是x₁=1，x₂=3，再设f（x）=a（x-1）（x-3），利用待定系数法求a．

解答： 解：∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）关于x=2对称；
∵f（x）在x轴上截得的线段长为2，且f（x）与x轴的交点关于x=2对称，
∴f（x）与x轴的交点是x₁=1，x₂=3，
∴设f（x）=a（x-1）（x-3），
∵经过点（4，3），即f（4）=3
代入得a（4-1）（4-3）=3
得a=1，
∴f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．

点评：本题考查了二次函数的性质，关键要明确“在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2-x）=f（2+x）”的含义，正确解读，得到二次函数的信息．