Question

12．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，$a=2\sqrt{3}，b=2\sqrt{2}$，且1+2cos（B+C）=0，则BC边上的高等于（　　）

• A． $2（{\sqrt{3}+1}）$
• B． $2（{\sqrt{3}-1}）$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由1+2cos（B+C）=0可得B+C=120°，A=60°，由余弦定理求得c值，利用△ABC的面积公式，可求BC边上的高．

解答 解：：△ABC中，由1+2cos（B+C）=0可得cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，∴B+C=120°，∴A=60°．
∵$a=2\sqrt{3}，b=2\sqrt{2}$，由余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA，
即12=8+c²-2×2$\sqrt{2}$×c×$\frac{1}{2}$，解得c=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
由△ABC的面积等于$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$ah，（h为BC边上的高），
∴$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•3$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•h，h=1+$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，考查三角形面积的计算，属于中档题．