Question

7．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，a₂为整数，且a₃∈[6，8]
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={a_n}+2+\frac{1}{{{2^{{a_n}+2}}}}$，S_n=b₁+b₂+…+b_n，问是否存在最小的正整数n，使得S_n＞108恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=1，a₂为整数，可知d为整数，又a₃=1+2d∈[6，8]知，解得d，可得
a_n．
（2）利用等比数列的求和公式、不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=1，a₂为整数，可知d为整数，
又a₃=1+2d∈[6，8]知，d=3．…（2分）
所以a_n=3n-2．…（4分）
（2）由（1）知，${b_n}={a_n}+2+\frac{1}{{{2^{{a_n}+2}}}}=3n+{（{\frac{1}{8}}）^n}$，…（5分）
于是${S_n}=3（1+2+3+…+n）+\frac{{\frac{1}{8}[{1-{{（\frac{1}{8}）}^n}}]}}{{1-\frac{1}{8}}}=\frac{3}{2}n（n+1）+\frac{1}{7}[{1-{{（\frac{1}{8}）}^n}}]$．…（9分）
要使${S_n}=\frac{3}{2}n（n+1）+\frac{1}{7}[{1-{{（\frac{1}{8}）}^n}}]＞108$恒成立，
只需$\frac{3}{2}n（n+1）≥108$，…（10分）
解得n≥8或n≤-9（舍），…（11分）
所以存在最小的正整数n=8使得S_n＞108恒成立．…（12分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．