Question

若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是单调递减的，且f（1）=0，则使f（x）＜0的x的取值范围是________．

Answer 1

（-1，1）
分析：根据f（x）在（-∞，0]上是单调递减的，f（-1）=-f（1）=0，得当x＜0时，f（x）＜0的x的取值范围是（-1，0），再根据函数为偶函数在（0，+∞）上为增函数，得到当f（x）＜0=f（1）时，0＜x＜1，最后结合f（0）=-f（0）=0，得到x的取值范围．
解答：首先，当x＜0时，根据f（x）在（-∞，0]上是单调递减的
所以f（x）＜0=f（-1），可得-1＜x＜0
又∵偶函数图象关于y轴对称
∴在（-∞，0]上是单调递减的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数
因为f（1）=0，所以当f（x）＜0时，0＜x＜1
而f（0）=-f（0）=0
所以使f（x）＜0的x的取值范围是 （-1，1）
故答案为：（-1，1）
点评：本题以函数奇偶性为例，考查了用函数的性质解不等式，属于基础题．解题时应该注意函数单调性与奇偶性的内在联系，是解决本题的关键．