Question

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x³和y=ax²+

15

4

x-9都相切，则a等于（　　）

• A、-1或-

  25

  64

• B、-1或

  21

  4

• C、-

  7

  4

  或-

  25

  64

• D、-

  7

  4

  或7

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：先求出过点（1，0）和y=x³相切的切线方程，即可得到结论．

解答： 解：设直线与曲线y=x³的切点坐标为（x₀，y₀），
则函数的导数为f′（x₀）=3x₀²，
则切线斜率k=3x₀²，
则切线方程为y-x₀³=3x₀²（x-x₀），
∵切线过点（1，0），
∴-x₀³=3x₀²（1-x₀）=3x₀²-3x₀³，
即2x₀³=3x₀²，
解得x₀=0或x₀=

3

2

，
①若x₀=0，此时切线的方程为y=0，
此时直线与y=ax²+

15

4

x-9相切，
即ax²+

15

4

x-9=0，
则△=（

15

4

）²+36a=0，
解得a=-

25

64

．
②若x₀=

3

2

，其切线方程为y=

27

4

x-

27

4

，
代入y=ax²+

15

4

x-9得y=ax²+

15

4

x-9=

27

4

x-

27

4

，
消去y可得ax²-3x-

9

4

=0，
又由△=0，即9+4×

9

4

×a=0，
解可得a=-1．
故a=-1或a=-

25

64

．
故选：A．

点评：本题主要考查函数切线方程的求解，根据导数的几何意义是解决本题的关键．