Question

如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，点E、D分别是B′C′与BC的中点，求证：平面A′EB∥平面ADC′．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：先证明A′E∥AD，再证明A′E∥平面AC′D；同理证明BE∥平面AC′D；即证平面A′BE∥平面AC′D．

解答： 证明：如图所示，
连接DE，
∵E、D分别是B′C′与BC的中点，
∴AA′∥DE，AA′=DE，
∴四边形ADEA′是平行四边形；
∴A′E∥AD，
又∵AD?平面AC′D，
A′E?平面AC′D，
∴A′E∥平面AC′D；
又∵EC′=

1

2

B′C′，BD=

1

2

BC，
且B′C′=BC，B′C′∥BC，
∴EC′∥BD，EC′=BD；
∴四边形BDC′E是平行四边形；
∴BE∥DC′，
又∵BE?平面AC′D，
DC′?平面AC′D，
∴BE∥平面AC′D；
又BE∩A′E=E，BE?平面A′BE，A′E?平面A′BE，
∴平面A′BE∥平面AC′D．

点评：本题考查了证明空间中的平面与平面平行的问题，解题时应用判断定理，先证线面平行，再证面面平行，是基础题．