Question

求经过点（

1

2

，2）且与双曲线4x²-y²=1仅有一个公共点的直线方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意作图，讨论斜率是否存在，再联立方程求解即可．

解答： 解：由题意作图如右图，
①当直线斜率不存在时，
即x=

1

2

时，与双曲线4x²-y²=1仅有一个公共点，
故成立；
②当直线的斜率存在时，
设斜率为k，则直线方程为y-2=k（x-

1

2

），
即y=k（x-

1

2

）+2，
与4x²-y²=1联立消y化简可得，
（4-k²）x²+（k²-4k）x-

k2

4

+2k-5=0，
①当4-k²=0时，k²-4k≠0，
解得，k=2或k=-2，
此时，直线方程为y-2=2（x-

1

2

）或y-2=-2（x-

1

2

），
即2x-y+1=0或2x+y-1=0；
②当4-k²≠0时，
△=（k²-4k）²-4（4-k²）（-

k2

4

+2k-5）=0，
即32k-80=0，
解得，k=2.5，
故y-2=2.5（x-

1

2

），
即10x-4y+3=0．
故直线方程有：x=

1

2

，2x-y+1=0，2x+y-1=0或10x-4y+3=0．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线的交点个数问题，属于难题．