Question

某学生在上学途中要经过4个路口，假设在各路口遇到红灯的概率都是

1

4

，且是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯时停留的时间都是2min．
（1）求这名学生到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）求这名学生在上学途中因遇到红灯停留的总时间X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式,n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得这名学生在首两个路口都没有遇到红灯，由此能求出这名学生到第三个路口时首次遇到红灯的概率．
（2）由题意知X的可能取值为0，2，4，6，8，分别求出相应的概率，由此能示出这名学生在上学途中因遇到红灯停留的总时间X的数学期望．

解答： 解：（1）∵这名学生到第三个路口时首次遇到红灯，
∴这名学生在首两个路口都没有遇到红灯，
∴这名学生到第三个路口时首次遇到红灯的概率：
p=（1-

1

4

）（1-

1

4

）•

1

4

=

9

64

．
（2）由题意知X的可能取值为0，2，4，6，8，
P（X=0）=

C

0 4

(1-

1

4

)4=

81

256

，
P（X=2）=

C

1 4

(

1

4

)(1-

1

4

)3=

108

256

，
P（X=4）=

C

2 4

(

1

4

)2(1-

1

4

)2=

54

256

，
P（X=6）=

C

3 4

(

1

4

)3(1-

1

4

)=

12

256

，
P（X=8）=

C

4 4

(

1

4

)4=

1

256

，
∴EX=0×

81

256

+2×

108

256

+4×

54

256

+6×

12

256

+8×

1

256

=2．
∴这名学生在上学途中因遇到红灯停留的总时间X的数学期望是2min．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．