Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=

3

．
（1）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）若D是棱CC₁的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁；
（3）求三棱锥A₁-AB₁C₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据几何体的性质得出AC₁⊥A₁C，A₁C⊥B₁C₁，运用线面垂直的判定证明．
（2）E为AB中点，取AB₁中点F，连接EF，ED，FC₁，利用中位线，直线平面的平行定理证明．
（3）转换顶点V A1-AB₁C₁=V B1-AA1C1求解．

解答： 证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=

3

．
∴AC=

3

，C₁C⊥B₁C₁，
∵AA1=

3

∴四边形ACC₁A₁为正方形，
∴AC₁⊥A₁C，
∵AC，BC，CC₁两两垂直，BC∥B₁C₁
∴B₁C₁⊥面ACC₁A₁，
∵A₁C?面ACC₁A₁，
∴A₁C⊥B₁C₁，
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，AC₁⊥A₁C，A₁C⊥B₁C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁；
解：（2）在棱AB上存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁；
E为AB中点，
∵取AB₁中点F，连接EF，ED，FC₁，
∴EF∥BB₁，DC₁∥BB₁，EF=

1

2

BB₁，C₁D=

1

2

BB₁，
∴EF∥DC₁，EF=DC₁
∴四边形EFCD₁，
∴ED∥FC₁，
∵FC₁?平面AB₁C₁，DE?平面AB₁C₁

∴DE∥平面AB₁C₁；
解：（3）∵B₁C₁⊥面ACC₁A₁，四边形ACC₁A₁为正方形，AA1=

3

∴V A1-AB₁C₁=V B1-AA1C1=

1

3

×

1

2

×A1C1×AA1×B1C1=

1

3

×

1

2

×

3

×

3

×1=

1

2

点评：本题考查了空间几何体的性质定义，直线平面的平行垂直问题，距离，体积的求解，属于中档题，难度不大．