Question

13．已知（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）ⁿ⁺²的展开式中含x²项的系数是11n
（1）求n的值；
（2）求（2x+$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式中，系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）利用（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）ⁿ⁺²的展开式中含x²项的系数是11n得到关于n 的等式解出n；
（2）利用（1）的结论，求系数最大项．

解答 解：（1）因为（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）ⁿ⁺²的展开式中
含x²项的系数是${C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}+…+{C}_{n+2}^{2}$=11n，解得n=5；
（2）由（1）得（2x+$\frac{1}{x}$）¹⁰，所以展开式通项为${C}_{10}^{r}（2x）^{10-r}（\frac{1}{x}）^{r}$=${2}^{10-r}{C}_{10}^{r}{x}^{10-2r}$，
设系数最大项为T_r+1，所以$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{10-r}{C}_{10}^{r}≥{2}^{9-r}{C}_{10}^{r+1}}\\{{2}^{10-r}{C}_{10}^{r}≥{2}^{11-r}{C}_{10}^{r-1}}\end{array}\right.$，r∈Z，解得r=3，
所以系数最大项为${T}_{3+1}={2}^{7}{C}_{10}^{3}{x}^{4}$=15360x⁴．

点评 本题考查了二项式定理的运用；关键是明确展开式的通项，从图象入手，找出满足特征项的r值．