Question

1．电视剧《人民的名义》中有一个低矮的接待上访服务窗口，假设群众办理业务所需的时间互相独立，且都是10分钟的整数倍，对以往群众办理业务所需的时间统计结果如下：

办理业务所需的时间（分）	10	20	30	40	50
频率	0.3	0.3	0.2	0.1	0.1

假设排队等待办理业务的群众不少于3人，从第一个群众开始办理业务时开始计时．
（Ⅰ）估计第三个群众恰好等待40分钟开始办理业务的概率；
（Ⅱ）X表示至第20分钟末已办理完业务的群众人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，求出Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待40分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为10分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为30分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为30分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为10分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为20分钟．由此能求出第三个群众恰好等待40分钟开始办理业务的概率．
（Ⅱ）X所有可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

Y	10	20	30	40	50
P	0.3	0.3	0.2	0.1	0.1

（Ⅰ）A表示事件“第三个顾客恰好等待40分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：
①第一个顾客办理业务所需的时间为10分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为30分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为30分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为10分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为20分钟．
…（3分）
所以P（A）=P（Y=10）P（Y=30）+P（Y=30）P（Y=10）+P（Y=20）P（Y=20）=0.3×0.2+0.2×0.3+0.3×0.3=0.21．…（5分）
（Ⅱ）X所有可能的取值为0，1，2．…（6分）X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过20分钟，
所以P（X=0）=P（Y＞0）=0.4；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为10分钟且第二个顾客办理业务所需的时   间超过10分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为20分钟，
所以P（X=1）=P（Y=10）P（Y＞10）+P（Y=20）=0.3×0.7+0.3=0.51；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为10分钟，
所以P（X=2）=P（Y=10）P（Y=10）=0.3×0.3=0.09； …（9分）
所以X的分布列为

X	0	1	2
P	0.4	0.51	0.09

E（X）=0×0.4+1×0.51+2×0.09=0.69…（12分）
（注：分布列未列表，扣1分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查了n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，是中档题．