Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中点，F是AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥BC；
（Ⅱ）求点B到平面CEF的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF⊥BC．
（2）求出平面EFC的法向量，利用向量法能求出点B到平面CEF的距离．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得F（

1

2

a，0，0），P（0，0，a），B（a，a，0），
E（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），C（0，a，0），

EF

=（0，

1

2

a，

1

2

a），

BC

=（-a，0，0），
∴

EF

•

BC

=0，
∴EF⊥BC．
（2）解：

EC

=（-

1

2

a，

1

2

a，-

1

2

a），

EF

=（0，

1

2

a，

1

2

a），
设平面EFC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • EF = 1 2 ay+ 1 2 az=0 n • EC =- 1 2 ax+ 1 2 ay- 1 2 az=0

，
取y=1，得

n

=（2，1，-1），
∴点B到平面CEF的距离d=

| n • BC |

| n |

=

|-2a|

6

=

6 a

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．