Question

19．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（　　）

• A． 24+8$\sqrt{2}$+8$\sqrt{5}$
• B． 20+8$\sqrt{2}$+4$\sqrt{5}$
• C． 20+8$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$
• D． 20+4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由三视图还原原几何体，原几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，侧面PAB与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAB是等腰三角形，底边AB上的高为2，侧面PAD、PBC是全等的直角三角形，直角边AD=4，AP=$2\sqrt{2}$，侧面PCD是等腰三角形，底边CD=4，腰PD=PC=2$\sqrt{6}$．然后由三角形面积求解．

解答 解：由三视图可得原几何体如图：

该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，
侧面PAB与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为4的正方形；
侧面PAB是等腰三角形，底边AB上的高为2，侧面PAD、PBC是全等的直角三角形，直角边AD=4，AP=$2\sqrt{2}$；
侧面PCD是等腰三角形，底边CD=4，腰PD=PC=2$\sqrt{6}$．
∴几何体的表面积为：$4×4+\frac{1}{2}×4×2+2×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4+$$\frac{1}{2}×4×\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-{2}^{2}}$
=20+$8\sqrt{2}$+$4\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题考查由三视图求几何体的表面积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．