Question

2．已知函数f（x）=$\frac{2-cos[\frac{π}{4}（1-x）]+sin[\frac{π}{4}（1-x）]}{{x}^{2}+4x+5}$（-4≤x≤0），则f（x）的最大值为2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 运用两角和的余弦公式和诱导公式、二次函数的配方化简函数f（x），再由正弦函数的最值和二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：f（x）=$\frac{2-cos[\frac{π}{4}（1-x）]+sin[\frac{π}{4}（1-x）]}{{x}^{2}+4x+5}$
=$\frac{2-\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}-\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}）}{（x+2）^{2}+1}$
=$\frac{2-\sqrt{2}cos（\frac{π}{2}-\frac{π}{4}x）}{（x+2）^{2}+1}$=$\frac{2-\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}x）}{（x+2）^{2}+1}$，
由-4≤x≤0，可得x=-2时，（x+2）²+1取得最小值1，
2-$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x）在x=-2处取得最大值2+$\sqrt{2}$．
则f（x）的最大值为2+$\sqrt{2}$．
故答案为：2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用两角和的余弦公式以及诱导公式、正弦函数的值域，以及二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．