Question

8．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和侧面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中点，D₁E⊥CD，AB=2BC=2．
（1）求证：BC⊥D₁E；
（2）若平面BCC₁B₁与平面BED₁所成的锐二面角的大小为$\frac{π}{3}$，求线段D₁E的长度．

Answer 1

分析 （1）由已知底面ABCD和侧面BCC₁B₁是矩形，可得BC⊥CD，BC⊥CC₁，由线面垂直的判定可得BC⊥平面DCC₁D₁，进一步得到BC⊥D₁E；
（2）由（1）可知BC⊥D₁E，结合D₁E⊥CD，可得D₁E⊥平面ABCD．设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BED₁的一个法向量与平面BCC₁B₁的一个法向量，由平面BCC₁B₁与平面BED₁所成的锐二面角的大小为$\frac{π}{3}$列式求得a值，则线段D₁E的长度可求．

解答 （1）证明：∵底面ABCD和侧面BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥CD，BC⊥CC₁，
又∵CD∩CC₁=C，∴BC⊥平面DCC₁D₁，
∵D₁E?平面DCC₁D₁，∴BC⊥D₁E；
（2）解：由（1）可知BC⊥D₁E，
又∵D₁E⊥CD，且BC∩CD=C，
∴D₁E⊥平面ABCD．
设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．
则E（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），G（1，0，0）．
设D₁E=a，则D₁（0，0，a），B₁（1，2，a）．
设平面BED₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{EB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（0，0，a），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{D}_{1}}=az=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0）；
设平面BCC₁B₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
$\overrightarrow{CB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，1，a），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}={x}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-{x}_{1}+{y}_{1}+a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令z₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，-a，1）．
由平面BCC₁B₁与平面BED₁所成的锐二面角的大小为$\frac{π}{3}$，
得|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{a}{\sqrt{2}•\sqrt{{a}^{2}+1}}$=|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，解得a=1．
∴D₁E=1．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．