Question

13．设$\overrightarrow a$=（-1，1），$\overrightarrow b$=（x，3），$\overrightarrow c$=（5，y），$\overrightarrow d$=（8，6），且$\overrightarrow b∥\overrightarrow d，（4\overrightarrow a+\overrightarrow d）⊥\overrightarrow c$．
（1）求$\overrightarrow b$和$\overrightarrow c$；     
（2）求$\overrightarrow c$在$\overrightarrow a$方向上的投影；    
（3）求λ₁和λ₂，使$\overrightarrow c={λ_1}\overrightarrow a+{λ_2}$$\overrightarrow b$．

Answer 1

分析 （1）根据条件$\overrightarrow b∥\overrightarrow d$，建立方程关系求出x即可求$\overrightarrow b$和$\overrightarrow c$；     
（2）根据向量投影的定义即可求$\overrightarrow c$在$\overrightarrow a$方向上的投影；    
（3）根据$\overrightarrow c={λ_1}\overrightarrow a+{λ_2}$$\overrightarrow b$．建立方程关系进行求解即可．

解答 （1）∵$\overrightarrow b∥\overrightarrow d$，∴6x-24=0，∴x=4…（1分）
∵4$\overrightarrow a$+$\overrightarrow d$=（4，10），
∴由（4$\overrightarrow a$+$\overrightarrow d$）⊥$\overrightarrow c$=0，
得5×4+10y=0，得y=-2．
则$\overrightarrow b$=（4，3），$\overrightarrow c$=（5，-2），
（2）$cos＜\overrightarrow a，\overrightarrow c＞=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow c}{{|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow c}|}}=\frac{-5-2}{{\sqrt{2}•\sqrt{29}}}=-\frac{{7\sqrt{58}}}{58}…（6分）$
∴$\overrightarrow c$在$\overrightarrow a$方向上的投影为$|{\overrightarrow c}|cos＜\overrightarrow a，\overrightarrow c＞=-\frac{{7\sqrt{2}}}{2}…（8分）$．
（3）∵$\overrightarrow c={λ_1}\overrightarrow a+{λ_2}\overrightarrow b$，
∴$\left\{\begin{array}{l}5=-{λ_1}+4{λ_2}\\-2={λ_1}+3{λ_2}\end{array}\right…（10分）$，
解得${λ_1}=-\frac{23}{7}，{λ_2}=\frac{3}{7}…（12分）$

点评 本题主要考查向量数量积的应用，考查向量平行，垂直以及向量的基本分解，考查学生的运算能力．