Question

8．已知z为复数，z+2i和$\frac{z}{2-i}$均为实数，其中i是虚数单位．则复数|z|=$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i=a+（b+2）i∈R，则虚部等于0，可得b的值，又$\frac{z}{2-i}$=$\frac{2a-b}{5}+\frac{a+2b}{5}i$i∈R，则虚部等于0，可得a的值，则复数z可求，再由复数求模公式计算得答案．

解答 解：设复数z=a+bi（a，b∈R），
由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i，
∵z+2i是实数，
∴b+2=0，即b=-2．
又$\frac{z}{2-i}$=$\frac{（a+bi）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{（2a-b）+（a+2b）i}{5}$=$\frac{2a-b}{5}+\frac{a+2b}{5}i$，
∵$\frac{z}{2-i}$均为实数，
∴2b+a=0，即a=-2b=4．
∴z=4-2i．
则|z|=$\sqrt{{4}^{2}+（-2）^{2}}=2\sqrt{5}$．
故答案为：$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．