Question

18．已知数列{a_n}的首项a₁=3，且满足a_n+1=3a_n+2×3ⁿ⁺¹，（n∈N^*）．
（1）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，判断数列{b_n}是否为等差数列或等比数列，并证明你的结论；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根数列的递推关系，利用构造法，构造等比数列，结合等差数列的定义即可证明{b_n}是等差数列．
（2）求出数列{a_n}的通项公式，利用求和公式，结合错位相减法进行求解即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=3a_n+2×3ⁿ⁺¹，（n∈N^*）．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{3{a}_{n}}{{3}^{n+1}}$+$\frac{2×{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}}$，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$+2，…（5分）
∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，
∴b_n+1-b_n=2，∴{b_n}构成以b₁=$\frac{{a}_{1}}{3}$=1为首项，2为公差的等差数列．（6分）
（2）由（1）可知b_n=1+2（n-1）=2n-1，所以a_n=（2n-1）•3ⁿ…（8分）
S_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ               ①
3S_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹                 ②
②-①得-2S_n=3+2•3²+2•3³+…+2•3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ⁺¹          …（10分）
=3+2•$\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹  
=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6…（13分）
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3…（15分）

点评 本题主要考查数列通项公式和数列求和的计算，根据数列的递推关系，利用构造法构造等比数列，结合错位相减法进行求和是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．