Question

若实数a，b，c，d满足（b+a²•3lna）²+（c•d+2）²=0，且a∈（0，1），则（a•c）²+（b•d）²的最小值为（　　）

• A、

  1

  e

• B、

  2

  e

• C、

  3

  e

• D、

  4

  e

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：实数a，b，c，d满足（b+a²•3lna）²+（c•d+2）²=0，可得b+a²•3lna=0，cd+2=0．即b=-3a²lna，d=-

2

c

．代入（a•c）²+（b•d）²=a2c2+

36a4ln2a

c2

（*），利用基本不等式可得（*）≥a2•2

c2• 36a2ln2a c2

=12a³|lna|=f（a），再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：∵实数a，b，c，d满足（b+a²•3lna）²+（c•d+2）²=0，
∴b+a²•3lna=0，cd+2=0．
∴b=-3a²lna，d=-

2

c

．
∴（a•c）²+（b•d）²=a2c2+

36a4ln2a

c2

（*），
∵a∈（0，1），
∴（*）≥a2•2

c2• 36a2ln2a c2

=12a³|lna|=f（a），当且仅当c²=6alna时取等号．
当a∈（0，1）时，f（a）=-12a³lna，f′（a）=-36a²lna-12a²=-12a²（3lna+1），
令f′（a）=0，a=e-

1

3

．
当0＜a＜e-

1

3

时，f′（a）＞0，函数f（a）单调递增；当e-

1

3

＜a＜1时，f′（a）＜0，函数f（a）单调递减．
∴函数f（a）最大值，f(e-

1

3

)=

4

e

．
∴（a•c）²+（b•d）²的最小值为

4

e

．
故选：D．

点评：本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．