Question

如图，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M为BC中点．
（Ⅰ）求直线EM与平面BCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）P为线段DM上一点，且AP⊥DM，求证：AP∥DE．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由ED⊥平面BCD，可得DM为EM在平面BCD上的射影，即∠EMD为EM与平面BCD所成角．解三角形可得直线EM与平面BCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）P为线段DM上一点，且AP⊥DM，结合DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M为BC中点．由线面垂直的判定定理，性质定理可得AP∥DE．

解答： 解：（Ⅰ）∵ED⊥平面BCD，
∴DM为EM在平面BCD上的射影，
∴∠EMD为EM与平面BCD所成角．…（2分）
∵DA⊥平面ABC，AB?平面ABC，AC?平面ABC，
∴DA⊥AB，DA⊥AC，
设DE=DA=AB=AC=a，则DC=DB=

2

a，
在△ABC中，∠BAC=120°，
∴BC=

3

a，
又∵M为BC中点，
∴DM⊥BC，BM=

1

2

BC=

3

2

a，
∴DM=

5

2

a．…（5分）
在Rt△EDM中，EM=

DE 2+DM2

=

3

2

a，
∴sin∠EMD=

DE

EM

=

a

3 2 a

=

2

3

．…（7分）
（Ⅱ）∵AB=AC，M为BC中点，
∴BC⊥AM．
又DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥DA，
又∵AM∩DA=A，AM，DA?平面DAM．
∴BC⊥平面DAM．…（9分）
又∵AP?平面DAM，
∴BC⊥AP…（11分）
又AP⊥DM，BC∩DM=M，BC，DM?平面BCD．
∴AP⊥平面BCD         …（13分）
又∵ED⊥平面BCD，
∴AP∥DE．      …（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定定理，直线与平面垂直的性质定理，难度中档．