Question

根据条件分别求出f（x）的解析式：
（1）f（x-2）=2x-

x

；
（2）f（x²+1）=x⁴+3x²+4；
（3）f（x）满足f（x）+2f（

1

x

）=2x．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：方程思想,换元法,函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法，设x-2=t，求出x，得出f（t），即得f（x）；
（2）利用换元法，设x²+1=t，求出x²，得出f（t），即得f（x）；
（3）由f（x）+2f（

1

x

）=2x①，得f（

1

x

）+2f（x）=

2

x

②；从而求出f（x）．

解答： 解：（1）∵f（x-2）=2x-

x

，
设x-2=t，∴x=t+2（t≥-2）；
∴f（t）=2（t+2）-

t+2

，
即f（x）=2（x+2）-

x+2

（x≥-2）；
（2）∵f（x²+1）=x⁴+3x²+4，
设x²+1=t，∴x²=t-1（t≥1）；
∴f（t）=（t-1）²+3（t-1）+4=t²+t+2，
即f（x）=x²+x+2（x≥1）；
（3）∵f（x）满足f（x）+2f（

1

x

）=2x①，
∴f（

1

x

）+2f（x）=

2

x

②；
②×2-①得，3f（x）=

4

x

-2x，
∴f（x）=

4

3x

-

2x

3

．

点评：本题考查了求函数解析式的问题，也考查了方程思想与换元法的应用问题，是基础题．