Question

如图，三棱锥P-ABC，底面ABC为边长为2

3

的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．
（1）求证：DO∥面PBC；
（2）求证：AC⊥面BOD；
（3）设M为PC中点，求二面角M-BD-O的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AO交BC于点E，连接PE，通过DO∥PE，利用直线与平面平行的判定定理，证明求证DO∥面PBC；
（2）由PB=PC，且E为BC中点可得PE⊥BC，结合平面PBC⊥平面ABC，可得PE⊥平面ABC，进而DO⊥平面PBC，即DO⊥AC，连接BO，则AC⊥BO，由线面垂直的判定定理可得：AC⊥平面DOB；
（3）设M为PC中点，以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A、B、P、C、D、M的坐标，求出向量

BM

，

DB

，设出平面BDM的法向量为

n

，利用向量夹角公式，可得二面角M-BD-O的余弦值．

解答： 证明：（1）连接AO交BC于点E，连接PE．
∵O为正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，
且E为BC中点．又AD=2DP，
∴DO∥PE，--------------（2分）
∵DO?平面PBC，PE?平面PBC
∴DO∥面PBC．--------------（4分）
（2）∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，--------------（5分）
由（1）知，DO∥PE，
∴DO⊥平面PBC，
∴DO⊥AC--------------（6分）
连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，
∴AC⊥平面DOB．--------------（8分）
解：（3）由（1）（2）知，EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，
所以分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

如图，则A（3，0，0），B（0，

3

，0），P（0，0，1），D（1，0，

2

3

），C（0，-

3

，0），M（0，-

3

2

，

1

2

）------------（9分）
∴

BM

=（0，-

3 3

2

，

1

2

），

DB

=（-1，

3

，-

2

3

）
设平面BDM的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • DB =0 n • BM =0

，即

-x+ 3 y- 2 3 z=0 - 3 3 2 y+ 1 2 z=0

令y=1，则

n

=（-

3

，1，3

3

）．--------------（10分）
由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，
∴

AC

=（-3，-

3

，0）为平面DBO的法向量，
∴cos＜

n

，

AC

＞=

| . n • AC |

| . n |•| AC |

=

2 3

31 •2 3

=

31

31

，
由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为

31

31

．--------------（12分）

点评：本题考查直线与平面的平行的判断，在与平面垂直的性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力，以及逻辑推理能力．