Question

已知离心率为e的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与双曲线x²-y²=1有相同的焦点，且直线y=ex分别与椭圆相交于A、B两点，与双曲线相交于C、D两点，若C、O（坐标原点）、D依次为线段AB的四等分点，则e=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，求出椭圆半焦距c=

2

，得出a²与b²的关系以及离心率e的表示，由直线y=ex与双曲线方程联立，求出交点坐标，
再由中点坐标公式得出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，求出a的值，即得椭圆的离心率e．

解答： 解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与双曲线x²-y²=1有相同的焦点，
∴c=

2

，
∴a²-b²=2；
∴e=

c

a

=

2

a

；
又直线y=ex与双曲线相交于C、D两点，
∴

y=ex x2-y2=1

，
即x²-e²x²=1，
解得x=±

1 1-e2

=±

a

a2-2

；
取x=

a

a2-2

，
则y=ex=

2

a

•

a

a2 -2

=

2

a2-2

，
∴点B（2x，2y）在椭圆上，
即

4a2

a2(a2-2)

+

8

(a2-2)(a2-2)

=1（*）；
设t=

1

a2-2

＞0，
则方程（*）化为4t+8t²=1，
解得t=

3 -1

4

，
∴a²-2=

4

3 -1

=2

3

+2，
∴a²=2

3

+4=(

3

+1)2，
解得a=

3

+1；
∴离心率为e=

c

a

=

2

3 +1

=

6 - 2

2

．
故答案为：

6 - 2

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的应用问题，是综合题．