Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为α，β，则

cos(α-β)

cos(α+β)

=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,两角和与差的余弦函数

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用斜率公式，表示出tanα

y

x+a

，tanβ=

y

x-a

，利用离心率化简椭圆方程，再根据和差的余弦公式，即可求得结论．

解答： 解：由题意，A（-a，0），B（a，0），设P（x，y），则tanα=

y

x+a

，tanβ=

y

x-a

，
∴tanαtanβ=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，
∴

a2-b2

a2

=

1

4

∴a²=

4

3

b²，
∴

x2

4 3 b2

+

y2

b2

=1，
∴y2=b2-

3x2

4

，

y2

x2-a2

=-

3

4

，
tanαtanβ=-

3

4

，
∴

cosαcosβ+sinαdinβ

cosαcosβ-sinαsinβ

=

1+tanαtanβ

1-tanαtanβ

=

1- 3 4

1+ 3 4

=

1

7

．
故答案为：

1

7

点评：本题考查斜率公式的运用，考查椭圆的几何性质，考查和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．