Question

12．设函数f（x）=log₂（x-a）（a∈R）．
（1）当a=2时，解方程f（x）-f（x+1）=-1；
（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1，当a=1时，试在该坐标系中作出函数y=|f（x）|的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．

Answer 1

分析 （1）当a=2，根据对数方程的性质解方程即可得到结论．
（2）根据对数函数的性质，结合对数函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=log₂（x-2），
则方程f（x）-f（x+1）=-1等价为log₂（x-2）-log₂（x-1）=-1，
即1+log₂（x-2）=log₂（x-1），
即log₂2（x-2）=log₂（x-1），
则2（x-2）=x-1，即x=3，此时log₂（3-2）-log₂（3-1）=0-1=-1，方程成立．
即方程的解集为{3}．
（2）当a=1时，f（x）=log₂（x-1），
则y=|log₂（x-1）|=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x-1），}&{x≥2}\\{-lo{g}_{2}（x-1），}&{1＜x＜2}\end{array}\right.$，
则对应的图形为，
则函数的定义域为（1，+∞），
函数的值域为[0，+∞），
函数为非奇非偶函数，
函数的单调递减区间为为（1，2），函数的单调递增区间为[2，+∞）．

点评 本题主要考查对数方程和对数函数的图象和性质的考查，比较基础．