Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，0＜x≤3}\\{f（6-x），3＜x＜6}\end{array}\right.$，设方程f（x）=2^-x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（　　）

• A． x₁+x₂=2
• B． 9＜x₃•x₄＜25
• C． 0＜（6-x₃）•（6-x₄）＜1
• D． 1＜x₁•x₂＜9

Answer 1

分析 由题意知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，0＜x≤3}\\{f（6-x），3＜x＜6}\end{array}\right.$与函数y=2^-x+b的图象有四个不同的交点，且交点的横坐标从左到右为x₁，x₂，x₃，x₄，作图象，从而可得0＜x₁＜1＜x₂＜3＜x₃＜5＜x₄＜6，|lg（6-x₃）|＞|lg（6-x₄）|，再化简可得（$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$-5）（$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$-7）＞0，从而解得．

解答 解：∵方程f（x）=2^-x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，0＜x≤3}\\{f（6-x），3＜x＜6}\end{array}\right.$与函数y=2^-x+b的图象有四个不同的交点，
且交点的横坐标从左到右为x₁，x₂，x₃，x₄，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，0＜x≤3}\\{f（6-x），3＜x＜6}\end{array}\right.$与函数y=2^-x+b的图象如下，
，
由图象可知，0＜x₁＜1＜x₂＜3＜x₃＜5＜x₄＜6，
故x₃•x₄＞9；
易知|lg（6-x₃）|＞|lg（6-x₄）|，
即lg（6-x₃）＞-lg（6-x₄），
即lg（6-x₃）+lg（6-x₄）＞0，
即36-6（x₃+x₄）+x₃•x₄＞1，
即6（x₃+x₄）＜x₃•x₄+35，
又∵x₃+x₄＞2$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$，
∴12$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$＜x₃•x₄+35，
∴（$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$-5）（$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$-7）＞0，
∴x₃•x₄＜25，
故9＜x₃•x₄＜25，
故选B．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用，同时考查了基本不等式的应用．