题目内容
已知
=（cosα，sinα），
=（cosα，sinα），且k
+
的长度是
-k
的长度的
倍（k＞0）．
（1）求证：
+
与
-
垂直；
（2）用k表示
•
；
（3）用
•
的最小值以及此时
与
的夹角θ．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
（1）求证：
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）用k表示
| a |
| b |
（3）用
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：（1）求出向量a，b的模，再由向量垂直的条件，即可得证；
（2）运用向量的平方即为模的平方，化简即可得到；
（3）运用基本不等式即可求出最小值，再由向量的夹角公式，即可得到夹角．
（2）运用向量的平方即为模的平方，化简即可得到；
（3）运用基本不等式即可求出最小值，再由向量的夹角公式，即可得到夹角．
解答：
（1）证明：由于|
|=|
|=1，
则（
+
）•（
-
）=
2-
2=0，
则
+
与
-
垂直；
（2）解：由于k
+
的长度是
-k
的长度的
倍（k＞0），
则（k
+
）2=3（
-k
）2，
k2
2+
2+2k
•
=3
2-6k
•
+3k2
2，
由于|
|=|
|=1，
则
•
=
；
（3）解：由于k＞0，
则（k-1）2≥0，从而k2+1≥2k，
即
≥
=
，
∴
•
的最小值为
，
此时cosθ=
=
，则θ=60°，
即
与
夹角为60°．
| a |
| b |
则（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
则
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）解：由于k
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
则（k
| a |
| b |
| a |
| b |
k2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
由于|
| a |
| b |
则
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
（3）解：由于k＞0，
则（k-1）2≥0，从而k2+1≥2k，
即
| k2+1 |
| 4k |
| 2k |
| 4k |
| 1 |
| 2 |
∴
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
此时cosθ=
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
即
| a |
| b |
点评：本题考查向量的数量积的运算和性质，考查向量的夹角公式以及基本不等式的运用：求最值，属于中档题．
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