Question

已知{a_n}，是递增的等差数列，a₂，a₄是方程x²-6x+8=0的根．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

an

2n

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意列式求出a₂，a₄，代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把等差数列的通项公式代入数列{

an

2n

}，然后由错位相减法求其和．

解答： 解：（Ⅰ）在递增等差数列{a_n}中，
∵a₂，a₄是方程x²-6x+8=0的根，则

a2+a4=6 a2a4=8

，解得

a2=2 a4=4

．
∴d=

a4-a2

4-2

=

4-2

4-2

=1．
∴a_n=a₂+（n-2）×d=2+n-1=n+1；
（Ⅱ）∵

an

2n

=

n+1

2n

，
∴{

an

2n

}的前n项和：
Sn=

2

2

+

3

22

+…+

n+1

2n

  ①，

1

2

Sn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

  ②，
①-②得：

1

2

Sn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+1

．
∴Sn=3-

n+3

2n

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．