Question

若函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）=（1-4m）

x

在[0，+∞）上是增函数，求a．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数f（x）的最大值为4，先确定a的值，然后利用函数g（x）=（1-4m）

x

在[0，+∞）上是增函数，确定a即可．

解答： 解：g（x）在[0，+∞）上为增函数，则1-4m＞0，即m＜

1

4

．
若a＞1，则函数f（x）在[-1，2]上单调递增，最小值为

1

a

=m，最大值为a²=4，
解得a=2，m=

1

2

，与m＜

1

4

矛盾； 
当0＜a＜1时，函数f（x）在[-1，2]上单调递减，最小值为a²=m，最大值为a^-1=4，
解得a=

1

4

，m=

1

16

．
所以a=

1

4

．

点评：本题主要考查指数函数和幂函数的单调性，注意对底数a要进行分类讨论．