Question

13．已知函数f（x）=|x+a|．
（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）+f（x-3）≥5；
（2）若关于x的不等式f（x）-f（x+2）+4≥|1-3m|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）+f（x-3）≥5可化为；|x+2|+|x-1|≥5．⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-2x-1≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤1}\\{3≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x+1≥5}\end{array}\right.$，即可求解；
（2）关于x的不等式f（x）-f（x+2）+4≥|1-3m|恒成立?|x+a|-|x+2+a|+4≥|1-3m|恒成立．即2+4≥|1-3m|⇒$\left\{\begin{array}{l}{1-3m≥-2}\\{1-3m≤2}\end{array}\right.$⇒-$\frac{1}{3}$≤m≤1．

解答 解：（1）当a=2，关于x的不等式f（x）+f（x-3）≥5可化为；|x+2|+|x-1|≥5．
⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-2x-1≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤1}\\{3≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x+1≥5}\end{array}\right.$，
⇒x≤-3或∅或x≥2
故不等式的解集为[2，+∞）∪（-∞，-3]．
（2）关于x的不等式f（x）-f（x+2）+4≥|1-3m|恒成立?|x+a|-|x+2+a|+4≥|1-3m|恒成立．
因为-2≤|x+a|-|x+2+a|≤2，
∴-2+4≥|1-3m|⇒$\left\{\begin{array}{l}{1-3m≥-2}\\{1-3m≤2}\end{array}\right.$⇒-$\frac{1}{3}$≤m≤1．
∴实数m的取值范围为[-$\frac{1}{3}$，1]

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查了含参不等式的恒成立问题的处理方法，属于中档题，