Question

4．已知函数f（x）=x²+ax+3．
（1）当a=4时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）当x∈[2，5]时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）当a=4时，f（x）≥0，即x²+4x+3≥0，化为（x+1）（x+3）≥0，即可解出．
（2）f（x）≥a恒成立?当x∈[2，5]时，a≥$\frac{-{x}^{2}-3}{x-1}$=-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+2]，利用基本不等式即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）当a=4时，f（x）≥0，
即x²+4x+3≥0，化为（x+1）（x+3）≥0，解得x≥-1或x≤-3．
∴不等式f（x）＞0的解集是{x|x≥-1或x≤-3}；
（2）x∈[2，5]时，f（x）≥a恒成立?当x∈[2，5]时，a≥$\frac{-{x}^{2}-3}{x-1}$=-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+2]
又[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+2]≥6，（当且仅当x=，3时取等号），
∴-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+2]≤-6
∴a≤-6．

点评 本题考查函数恒成立问题，着重考查基本不等式的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题题．