Question

1．已知函数f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx（a为实数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值；
（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）-2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，由此能求出f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞））上单调递减．f（x）在（$\frac{1}{e}$，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，由此能求出f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值．
（2）求出函数g（x）的导数，讨论①若a$＞\frac{1}{2}$，②若a≤$\frac{1}{2}$，求得单调区间，可得g（x）的范围，由恒成立思想，进而得到a的范围．

解答 解：（1）当a=0时，函数f（x）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+lnx$，（x＞0）
f′（x）=-x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，（x＞0），令f′（x）=0，得x=1，（负值舍去）
∴x＞0，x、f′（x），f（x）的变化如下：

x	（$\frac{1}{e}$，1）	1	（1，e）
f′（x）	+	0
f（x）	↑	极大值	↓

∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
f（x）最大值为f（1）=$\frac{1}{2}$．
∵$f（\frac{1}{e}）-f（e）=\frac{{e}^{4}-2{e}^{2}-1}{2{e}^{2}}＞0$，∴f（x）最小值为f（e）=1-$\frac{1}{2}{e}^{2}$
（2）g（x）=f（x）-2ax=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx-2ax，g（x）的定义域为 （0，+∞），
$g′（x）=\frac{（x-1）[（2a-1）x-1]}{x}$
①若a$＞\frac{1}{2}$，令g′（x）=0，得极值x₁=1，x₂=$\frac{1}{2a-1}$，
当x₁＜x₂，即$\frac{1}{2}＜a＜1$时，在（0，1）上有g′（x）＞0，
在（1，x₂）上有g′（x）＜0，
在（x₂，+∞）上有g′（x）＞0，此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，
并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞）不合题意；                                    
当x₂≤x₁，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，
有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；      
②若a≤$\frac{1}{2}$，则有x₁＞x₂，此时在区间（1，+∞）上恒有g′（x）＜0，
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g（1）=-a-$\frac{1}{2}$≤0，得a≥-$\frac{1}{2}$
由此求得a的范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
综合①②可知实数a的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，注意构造函数法和分类讨论的思想方法，运用函数的单调性和恒成立思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．