Question

已知函数f（x）=a+

1

2x-1

是奇函数，
（Ⅰ）求实数a的值，并证明你的结论；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：本题（Ⅰ）利用函数奇偶性定义，得到关于x的恒等式，从而求出a的值，也可以先用特殊值法求出m的值，再加以论证，得到本题结论；（Ⅱ）利用指数函数的值域，可求出函数y=f（x）的值域，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a+

1

2x-1

是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴a+

1

2-x-1

=-（a+

1

2x-1

），
∴2a=-

1

2x-1

+

2x

2x-1

∴a=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数函数f（x）=

1

2

+

1

2x-1

．
∵2^x＞0，
∴2^x-1＞-1．
∴-1＜2^x-1＜0或2^x-1＞0，
∴

1

2x-1

＜-1或

1

2x-1

＞0，
∴

1

2

+

1

2x-1

＜-

1

2

或

1

2

+

1

2x-1

＞

1

2

．
∴函数y=f（x）的值域为：（-∞，-

1

2

）∪(

1

2

，+∞)．

点评：本题考查了函数的奇偶性与函数值域，本题难度不大，属于基础题．