Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁
（2）求直线EF与平面B₁FC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据线面平行的判断定理即可证明EF∥平面ABC₁D₁
（2）根据直线和平面所成角的定义即可求直线EF与平面B₁FC所成角的正弦值．

解答： 解：（1）证明：（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连接AD₁，BD₁，BC₁，则ABC₁D₁为平行四边形，
∵E，F分别为DD₁、DB的中点，
∴EF∥BD₁，
∵BD₁?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
（2）连接AB₁，AF，
则CF⊥平面BB₁D₁D，
∴CF⊥BD₁，
∵BD⊥CB₁，
∴BD₁⊥平面AB₁C，
∵EF∥BD₁，
∴EF⊥平面AB₁C，
即直线EF与平面B₁FC所成的角为90°，
即直线EF与平面B₁FC所成角的正弦值为sin90°=1．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判断以及直线和平面所成角的求解，要求熟练掌握相应的判断定理．