Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+1，x＜0}\\{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1|，x≥0}\end{array}\right.$，方程f²（x）-af（x）+b=0（b≠0）有六个不同的实数解，则3a+b的取值范围是（　　）

• A． [6，11]
• B． [3，11]
• C． （6，11）
• D． （3，11）

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+1，x＜0}\\{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1|，x≥0}\end{array}\right.$的图象，从而利用数形结合知t²-at+b=0有2个不同的正实数解，且其中一个为1，从而可得-1-a＞0且-1-a≠1；从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+1，x＜0}\\{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1|，x≥0}\end{array}\right.$的图象如下，

∵关于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有6个不同实数解，
令t=f（x），
∴t²-at+b=0有2个不同的正实数解，
其中一个为在（0，1）上，一个在（1，2）上；
故$\left\{\begin{array}{l}b＞0\\ 1-a+b＜0\\ 4-2a+b＞0\end{array}\right.$，
其对应的平面区域如下图所示：

故当a=3，b=2时，3a+b取最大值11，
当a=1，b=0时，3a+b取最小值3，
则3a+b的取值范围是（3，11）
故选：D

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了线性规划，难度中档．