Question

5．已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＜0，且对任意的x，y∈R，恒有f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x）+f（x-2）≥f（8）的解集为（　　）

• A． （2，4]
• B． [-2，4]
• C． [4，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 根据函数单调性的定义，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，根据条件确定满足条件的函数解不等式即可得到结论．

解答 解：取0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，则f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
又∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）+f（x₁）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
则不等式式f（x）+f（x-2）≥f（8）等价为式f[x（x-2）]≥f（8），
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{{x}^{2}-2x≤8}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞2}\\{-2≤x≤4}\end{array}\right.$，解得2＜x≤4，
即不等式的解集为（2，4]，
故选：A．

点评 本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键，考查学生的运算能力．